pengertian pertidaksamaan logaritma dan sifat nya

Pertidaksamaan Logaritma Pengertian Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel x. Pada fungsi-fungsi logaritma standart, penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma matematika menggunakan sifat fungsi monoton turun dan monoton naik, apa itu? berikut penjelasannya. Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x), maka f(x) ≤ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0 Sifat fungsi logaritma monoton naik (a>1) Jika alog f(x) ≥ alog g(x), maka f(x) ≥ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x), maka f(x) ≤ g(x); dan f(x) dan g(x) > 0

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0

Saat 0 < a < 1

Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0

Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x)

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

^2\log(2x + 1) < ^2\log 3

Berubah bentuk menjadi:

2x + 1

2x < 2

x < 1

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga:

0 < (2x+1) < 3

-1 < (2x) < 2

-\frac{1}{2} < x < 1

Garis bilangannya adalah:

contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

(2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1

Diubah menjadi:

(2 \log x - 1)(\log x) > 1

2 \log^2 x - \log x - 1 > 0

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

2y^2 - y - 1 > 0

(2y + 1)(y - 1)

Akar-akarnya adalah :

y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1

Maka nilai x adalah:

y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x

x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}

y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x

x_2 = 10

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

pertidaksamaan logaritma

Penyelesaiannya adalah:

0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10