soal pertidaksamaan logaritma

Pertidaksamaan Logaritma Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu: Saat a > 1 Jika ^a\log f(x) < ^a \log g(x), maka 0 < f(x) < g(x) Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka f(x) > ;g(x) > 0 Saat 0 < a < 1 Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka f(x) > g(x) > 0 Jika ^a\log f(x) > ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x) Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan: ^2\log(2x + 1) < ^2\log 3 Berubah bentuk menjadi: 2x + 1 2x < 2 x < 1 Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika ^a\log f(x) < ^a\log g(x), maka 0 < f(x) < g(x). Sehingga: 0 < (2x+1) < 3 Garis bilangannya adalah: contoh soal persamaan dan pertidaksamaan logaritma Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan y = ^a \log x. Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari: (2 \log x-1)(\frac{1}{^x\log 10}) > 1 Diubah menjadi: (2 \log x - 1)(\log x) > 1 2 \log^2 x - \log x - 1 > 0 Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi: 2y^2 - y - 1 > 0 (2y + 1)(y - 1) Akar-akarnya adalah : y_1 = -\frac{1}{2} dan y_2 = 1 Maka nilai x adalah: y_1 = -\frac{1}{2}\overset{maka}{\rightarrow}-\frac{1}{2} = \log x x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} y_2 = 1\overset{maka}{\rightarrow}1 = \log x x_2 = 10 Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah: pertidaksamaan logaritma Penyelesaiannya adalah: 0 < x < \frac{1}{\sqrt{10}} atau x > 10

Contoh Soal 3: Pertidaksamaan Logaritma

Penyelesaian pertidaksamaan 2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4 adalah (UMPTN ’96)

Pembahasan 3:

2\log(x+1) \le \log(x+4) + \log 4

\log(x+1)^2 \le\log 4(x+4)

(x+1)^2 \le 4(x+4)

x^2 + 2x + 1 \le 4x + 16

x^2 - 2x - 15 \le 0

(x - 5)(x + 3) \le 0

Akar-akarnya adalah x_1 = 5 dan x_2 = -3. Sehingga intervalnya:

-3 \le x \le 5

Namun ada syarat yaitu:

(x + 1)^2 > 0

x < -1 atau x < -1

Garis bilangannya adalah:

pembahasan pertidaksamaan

Maka penyelesaiannya adalah:

-1 < x \le 5