Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.
Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:
PE bentuk a^{f(x)} = a^p
Jika a>0 dan a\ne 1, maka f(x) = p.
Contoh:
2^{3x} = 2^6
Maka:
3x = 6
x=2
PE bentuk a^{f(x)} = a^{g(x)}
Jika a>0 dan a≠ 1, maka f(x) = g(x)
Contoh:
2^{3x+1} = 2^{2x+3}
Maka:
3x+1 = 2x+3
x = 2
PE bentuk a^{f(x)} = b^{f(x)}
Jika a>0, a\ne 1, b>0, b \ne 1, dan a\ne b, maka f(x) = 0
Contoh:
2^{3x+1} = 5^{3x+1}
Maka:
3x + 1 = 0
x = -\frac{1}{3}
PE bentuk a^{f(x)} = b^{g(x)}
Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas
Contoh:
2^{3x+1} = 10^{3x}
Maka:
\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}
(3x+1)\log 2 = (3x)
3x \log 2 + \log 2 = 3x
\log 2 = 3x (1 - \log 2)
x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}
PE bentuk (h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}
Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:
f(x) = g(x)
Contoh:
(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}
Mungkin:
(3x+1) = (2x+3)
x =2
h(x) = 1
Contoh:
(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}
Mungkin:
(3x+2) = 1
x = -\frac{1}{3}
h(x) = 0 asalkan f(x) dan g(x)keduanya positif
Contoh:
(3x+2)^5 = (3x+2)^7
Mungkin:
(3x+2) = 0
x = -\frac{2}{3}
contoh soal:
1. Tentukan solusi dari persamaan 3x+2 = 9x-2
a. 2 b. 6 c. -6 d. -2
Pembahasan:
Untuk menentukan solusinya, harus menyamakan basis kedua ruas terlebih dahulu. Berdasarkan sifat-sifat eksponen, diperoleh:
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (x – 2)x2-2x = (x – 2)x+4!
a. x = -4 atau x= -1 b. x = 4 atau x = 1
c. x = -4 atau x = 1 d. x = 4 atau x = -1
Pembahasan:
Jadi, solusi dari persamaan (x – 2)x2-2x = (x – 2)x+4 adalah x = 4 atau x = -1.
3. Tentukan solusi dari persamaan eksponen 2x+1 + 2x-1 = 20!
a. 4 b. 2
c. 3 d. 1
Pembahasan:
Misalkan, 2x = y, sehingga diperoleh:
Substitusikan nilai balik y pada permisalan tersebut
Jadi, solusi dari persamaan eksponen 2x+1 + 2x-1 = 20 adalah x = 3.
4. Tentukan penyelesaian dari persamaan ekponensial berikut ini 22x-7 = 81-x
a. 2 b. -2
c. 5 d. -5
Pembahasan:
Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu menyamakan basis pada kedua ruas [ruas kanan dan ruas kiri] seperti berikut:
22x-7 = 81-x
22x-7 = (23)1-x
22x-7 = 23-3x
Karena basisnya telah sama, maka dengan mudah kita dapat menentukan nilai x-nya seperti berikut ini
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2
Sehingga kita peroleh x = 2
Pembahasan:
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, maka :
6.
a. 1,2 b. 1,5
c. 2,5 d. 1,25
Pembahasan :
Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan bentuk akar, maka
7. Tentukan nilai x dari persamaan
a. 5 b. 4
c. -4 d. -5
Pembahasan :
8. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial dari 25 x+2 = (0,2) 1-x
Pembahasan :
25 x+2 = (0,2) 1-x
52(x+2) = 5 -1(1-x)
2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x = -5Jadi nilai yang diperoleh yaitu x = -5
9. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 9 x²+x = 27 x²-1
a. x = -3 atau x = -1 b. x = 3 atau x = -1
c. x = 3 atau x = 1 d. x = -3 atau x = 1
Pembahasan:
9 x²+x = 27 x²-1
3 2(x²+x) = 3 3(x²-1)
2 (x2+x) = 3 (x2-1)
2x2 + 2x = 3x2 – 3
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { -1,3 }
10. Tentukan penyelesaian dari 32x-2 = 5x-1
Pembahasan:
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
32x-2 = 5x-1
32(x-1) = 5x-1
9x-1 = 5x-1
Sehingga berdasarkan sifat 2, maka akan diperoleh sebagai berikut:
x - 1 = 0
x = 1
Dengan demikian nilai yang diperoleh yaitu x = 1.
Komentar
Posting Komentar